1.5. Nevienādību un nevienādību sistēmu risināšana

a) Lineāru nevienādību risināšana.

Lineāru nevienādību risināšana sastāv no šādiem soļiem:

• izdarot nevienādību ekvivalentus pārveidojumus, nevienādību pārvērš formā ax < b; (ax > b; ax ≤ b;  ax ≥ b)
• atrisina nevienādību ax < b. Atkarībā no koeficientu a un b vērtībām un zīmēm iespējami šādi
  gadījumi:

ax < b
Nosacījumi		Atrisinājums
	a > 0
	a < 0
	b > 0
	b < 0

b) Kvadrātnevienādību risināšana.

Risinot kvadrātnevienādības, tiek izmantotas kvadrātfunkcijas y =ax2 + bx + c īpašības. Kvadrātnevienādību risināšana sastāv no šādiem soļiem:

Kvadrātnevienādības risināšana	Atrisināt nevienādību
1) Izdarot nevienādību ekvivalentus pārveidojumus, nevienādību pārvērš formā [parādīt risinājumu]
2) Atrisina vienādojumu  , nosakot funkcijas nulles [parādīt risinājumu]
3) Sadala skaitļu asi intervālos, atliekot uz skaitļu ass funkcijas nulles [parādīt risinājumu]
4) Uzskicē funkcijas grafiku, izmantojot informāciju par funkcijas nullēm un zaru vērsumu [parādīt risinājumu] Apskatāmajai funkcijai y = x2 + 4x -5 zari vērsti uz augšu, jo koeficients pie x2 ir pozitīvs skaitlis 1.
5) Nosaka izteiksmes zīmi katrā intervālā [parādīt risinājumu]
6) Pieraksta atbildi, ņemot vērā nevienādības veidu () [parādīt risinājumu] Ekvivalentu pārveidojumu rezultātā sākotnējā nevienādība tika pārveidota par nevienādību x2 + 4x -5<0. Tas nozīmē, ka no zīmējuma jānolasa tās x vērtības, ar kurām funkcijas vērtības ir mazākas par 0 (zīmējumā intervāls ar  "-" zīmi).	Atbilde:

c) Nevienādību risināšana ar intervālu metodi.

Ar intervālu metodi var atrisināt nevienādības, kuras var pārveidot formā f(x) > 0 (f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ 0) , (f(x) ir polinoms vai daļveida racionāla izteiksme). Šī metode pamatojas uz to, ka tiek aprēķinātas visas xvērtības, pie kurām izteiksmes f(x) vērtības var mainīt zīmi. Atrastās x vērtības uz skaitļu ass veido intervālus. Atliek noskaidrot izteiksmes f(x) zīmi katrā intervālā. Risinot nevienādības ar intervālu metodi, var izmantot šādu algoritmu.

d) Nevienādību sistēmu risināšana.

Par nevienādību sistēmas atrisinājumu der skaitlis, kuru ievietojot visās sistēmas nevienādībās, iegūst patiesas skaitliskas nevienādības. Atrisināt nevienādību sistēmu nozīmē atrast visas tās mainīgā vērtības, kas der par atrisinājumu katrai sistēmas nevienādībai un pamatot, ka citu vērtību nav. Lai noteiktu nevienādību sistēmas atrisinājumu, var rīkoties šādi:

• vispirms atrisina katru nevienādību atsevišķi;
• pēc tam atrod nevienādību atrisinājumu kopu kopīgo daļu (jeb šķēlumu).

Praktiski ir izdevīgi katras nevienādības atrisinājumu attēlot uz vienas (vai katru uz savas) skaitļu ass; sistēmas atrisinājums ir visu atrisinājumu kopīgā daļa (jeb šķēlums)

Nevienādību sistēmu risināšana	Atrisināt sistēmu
1) Atrisina vienu no nevienādību sistēmas nevienādībām [parādīt risinājumu]
2) Atrisina otro nevienādību sistēmas nevienādību [parādīt risinājumu]
3) Atliek abu nevienādību atrisinājumus uz vienas skaitļu ass [parādīt risinājumu]
4) Nosaka sistēmas atrisinājumu kā abu atrisinājumu kopīgo daļu (šķēlumu) [parādīt risinājumu]	Atbilde:

e) Nevienādību ar moduli risināšana.

Risinot nevienādības ar moduli, var izmantot moduļa ģeometrisko interpretāciju.

Atrisināt nevienādību Atbilde:

Atrisināt šo nevienādību nozīmē atrast visas tās mainīgā x vērtības, kuru attālums līdz 0 ir mazāks par 5 vienībām. To ilustrē šāds zīmējums.

Atrisināt nevienādību Atbilde:

Atrisināt šo nevienādību nozīmē atrast visas tās x vērtības, kuru attālums līdz 0 ir lielāks par 3 vienībām. To ilustrē šāds zīmējums.

Risinot nevienādības ar moduli, var izmantot arī šādus ekvivalentus pārveidojumus:

Nevienādība ir ekvivalenta nevienādību sistēmai

Piemērs

Atrisināt nevienādību

	Pāriet uz moduļa nevienādībai ekvivalentu nevienādību sistēmu
	Ar katru sistēmas nevienādību veic ekvivalentu pārveidojumu – abām pusēm pieskaita vienu un to pašu skaitli
	Ar katru sistēmas nevienādību veic ekvivalentu pārveidojumu – abas puses dala ar vienu un to pašu negatīvo skaitli (-4) un maina nevienādības zīmi uz pretējo

Atbilde:

Nevienādība ir ekvivalenta nevienādībām

Piemērs