7.5.7. Trigonometrisko vienādojumu pārveidošana par pamatvienādojumiem
Lietojot viena argumenta formulas, redukcijas formulas, divkārša argumenta formulas un
argumentu saskaitīšanas formulas,
daudzus vienādojumus iespējams pārveidot par pamatvienādojumiem.
Piemērs
Atrisināt vienādojumu
![](images/Tem_6/f_43.bmp)
Lai doto trigonometrisko vienādojumu pārveidotu par pamatvienādojumu, tiek izmantotas arī vispārīgās vienādojumu risināšanas metodes - sadalīšana reizinātājos, substitūcijas metode u.c.
Piemērs
Atrisināt vienādojumu sin2x = cosx. Izmantosim
sadalīšanu reizinātājos.
sin2x = cosx
|
sin2α = 2 sinα cosα, tāpēc →
|
2 sinx cosx – cosx = 0
|
→
|
cosx (2 sinx - cosx) = 0
|
cosx iespējams iznest pirms iekavām →
|
cosx = 0 x = π/2 + πn, n Z
|
vai |
2 sinx – cosx = 0, izdalot abas puses ar cosx ≠ 0, iegūstam
2 tgx – 1 = 0, jo
(ir iegūts pamatvienādojums)
|
Piemērs
Atrisināt vienādojumu 2 cos2x
= 3cosx + 2 Izmantosim substitūcijas metodi.
2cos2x = 3cosx
+ 2
|
Apzīmēsim cosx = t, iegūsim →
|
2t2 = 3t
+ 2
|
Atrisinām kvadrātvienādojumu →
|
2t2 – 3t
– 2 = 0
t1 = 2 un t2 = –1/2
|
Ievietojam iegūtās t vērtības vienādojumā cosx = t, iegūstam →
|
cosx = 0
x = π/2 + πn, n Z
|
vai |
cosx = –1/2
x = arccos(–1/2) + 2πn vai
x = π– arccos1/2 + 2πn
x = π – π/3 + 2πn
x = 2π/3 + 2πn, n Z
|
x = – arccos(–1/2) + 2πn
x = – (π– arccos1/2) + 2πn
x = – (π – π/3) + 2πn
x = – 2π/3 + 2πn, n Z
|