4.1. Kopu teorijas pamatjēdzieni

Kopa ir nedefinēts matemātikas pamatjēdziens. Ar kopu parasti saprot dažādu objektu, priekšmetu, elementu apkopojumu, kas apvienoti pēc kaut kādas kopīgas pazīmes. Piemēram, klases skolēnu kopa, visu vēlētāju kopa, naturālo skaitļu kopa, to skaitļu kopa, kuri dalās ar skaitli 5 u.t.t.

Kopu var uzskatīt par dotu, ja ir uzskaitīti visi tās elementi 1.piemērs), vai arī gadījumos, kad nav iespējams uzskaitīt visus kopas elementus, definēta tāda kopas elementu īpašība, kas ļauj pārbaudīt, vai kāds elements pieder kopai 2.piemērs.

Piemēri kopām, kurās uzskaitīti visi to elementi:

  • {Jānis, Līga, Zane, Uģis, Māris, Dace};
  • skaitļa 24 dalītāju kopa {1,2,4,6,8,12,24};
  • patskaņu kopa {a, ā, e, ē, i, ī, u, ū, o}.

Piemēri kopām, kurās nevar uzskaitīt visus to elementus, bet var dod elementu kopīgu īpašību:

  • naturālo skaitļu kopa;
  • skaitļa 5 dalāmo kopa;
  • skaitļu, kas pieder intervālam [2;8) kopa;
  • visu zilacaino cilvēku kopa;
  • vēlētāju kopa 8. Saeimas vēlēšanās.

Kopas parasti apzīmē ar lielajiem alfabēta burtiem, bet, raksturojot elementu piederību kopai, lieto simbolus un . ( 3.piemērs).

Ja kopa A ir visu skaitļa 5 dalāmo kopa, tad 10A, bet 24A.

Kopas, kurās nav elementu, sauc par tukšām kopām un apzīmē ar . Kopas, kurās ir galīgs elementu skaits, sauc par galīgām kopām (piemēram, kopa A={1, 2, 3, 4, 5,}), bet kopas, kurās elementu ir bezgalīgi daudz, sauc par bezgalīgām kopām (piemēram, kopa A=[2;10]).

Ja dotas divas kopas A un B un katrs kopas B elements ir arī kopas A elements, tad kopu B sauc par kopas A apakškopu un pieraksta šādi: B A. (  4.piemērs).

Ja kopa A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} un kopa B = {2,4,6,8,10},
tad BA



Darbības ar kopām Piemērs

Kopu šķēlums. Par kopu A un B šķēlumu sauc kopu, kura sastāv tikai no tiem elementiem, kas pieder gan kopai A, gan kopai B.

Kopu šķēlumu pieraksta šādi: AB

1) Ja kopa A=[2;10] un kopa B=[0;7], tad kopu A un B šķēlums AB ir intervāls [2;7]. To var viegli ilustrēt ģeometriski.

2) Ja kopa A={1;2;3} un kopa B={5;10}, tad AB=

Kopu apvienojums. Par kopu A un B apvienojumu sauc kopu, kura sastāv no visiem elementiem, kas pieder vismaz vienai no kopām A vai B.

Kopu apvienojumu pieraksta šādi: AB.

1) Ja kopa A=[2;10] un kopa B=[0;7], tad kopu A un B apvienojums AB ir intervāls [0;10]. To var viegli ilustrēt ģeometriski.

2) Ja kopa A={1;2;3} un kopa B={5;10}, tad AB={1;2;3;5;10}.

Kopu starpība. Par kopu A un B starpību sauc kopu, kas sastāv tikai no tiem elementiem, kas pieder kopai A, bet nepieder kopai B. To pieraksta šādi: A\B.

Jāievēro, ka A\B nav vienāds ar B\A.

Ja kopa A=[2;10] un kopa B=[0;7], tad kopu A un B starpība A\B ir intervāls(7;10], bet B un A starpība B\A ir intervāls [0;2).Ģeometriski to var ilustrēt šādi:

Šeit var aplūkot interaktīvu demonstrējumu kopu A, B, C šķēlumam, apvienojumam, starpībai, izmantojot Eilera-Venna diagrammas.