4. uzdevums

Dažādmalu taisnleņķa trijstūrī BAC no taisnā leņķa A virsotnes novilkta bisektrise AD un mediāna AE. Bisektrises garums ir b, bet leņķis starp bisektrisi un mediānu ir α. Aprēķini mediānas garumu!

Atrisinājums
Trijstūrī ADE divi lielumi (mala un leņķis) jau ir zināmi. Aprēķinot vēl vienu leņķi, trijstūrī ADE nezināmās malas varēs aprēķināt ar sinusu teorēmu.
Tālāk
un AD ir bisektrise, tāpēc .
Tālāk

No tā, ka trijstūris AEC ir vienādsānu Hipotenūzas viduspunkts E ir arī apvilktās riņķa līnijas centrs.
AE = EC, kā apvilktās riņķa līnijas rādiusi.
, seko, ka
Tālāk
Trijstūrī AEC var aprēķināt trešo leņķi:

Tālāk
Izmantojot blakusleņķu īpašību,

Tālāk
Trijstūrī ADE var aprēķināt trešo leņķi:

Tālāk
Malas AE garuma aprēķināšanai trijstūrī ADE izmanto sinusu teorēmu.


;
.
Tālāk
Izmantojot proporcijas īpašību, iegūstam mediānas AE garumu:
.
Tālāk
Atbilde: Garums mediānai