7.6. Trigonometrisko pamatnevienādību atrisināšana

Trigonometriskās pamatnevienādības sin x < α, cos x < α, tg x < α un ctg x < α (arī >, ≤, ≥) ir atrisināmas izmantojot šādu vispārīgu risināšanas shēmu:

1.solis Uzzīmē vienības riņķa līniju un uz atbilstošās ass (x ass kosinusa funkcijai, y ass sinusa funkcijai, tangensu ass tangensa funkcijai un kotangensu ass kotangensa funkcijai) atzīmē α vērtību.
2.solis Uz atbilstošās ass iezīmē nevienādībai atbilstošās vērtības – lielākas vai mazākas nekā α.
3.solis Uz vienības riņķa iezīmē 2.solī atzīmētajām vērtībām atbilstošo loku.
4.solis Noskaidro loka galapunktu vērtības, ievērojot, ka „pārvietošanās” pa vienības riņķi notiek pretēji pulksteņa rādītāja virzienam, tāpēc loka sākumpunkta leņķa vērtībai jābūt mazākai nekā loka galapunkta vērtība.
5.solis Nolasa atbilstošo intervālu un pieraksta atbildi, pieskaitot galapunktiem atbilstošās funkcijas periodu (sinusam un kosinusam T = 2πk, tangensam un kotangensam T = πk).

Aplūkosim šo shēmu vairākos piemēros:


Piemērs
1.solis
α vērtības atlikšana
2.solis
Atbilstošo vērtību atzīmēšana uz ass
3.solis
Atbilstošā loka iezīmēšana
4.solis
Galapunktu noteikšana
5.solis
Atbilstošā intervāla nolasīšana



Sinusa funkcijai atbilst y ass, uz tās
,
tāpēc uz y ass atzīmē vērtības lielākas

Iezīmē loku, kura leņķiem atbilst sinusa vērtības iekrāsotajā y ass daļā.
Loka sākumpunktam A atbilst vērtība ,
bet galapunktam B atbilst vērtība





Piemērs
1.solis
α vērtības atlikšana
2.solis
Atbilstošo vērtību atzīmēšana uz ass
3.solis
Atbilstošā loka iezīmēšana
4.solis
Galapunktu noteikšana
5.solis
Atbilstošā intervāla nolasīšana



Kosinusa funkcijai atbilst x ass, uz tās
atliek
,
tāpēc uz x ass atzīmē vērtības mazākas nekā

Iezīmē loku, kura leņķiem atbilst kosinusa vērtības iekrāsotajā x ass daļā.
Loka sākumpunktam A atbilst vērtība ,
bet galapunktam B atbilst vērtība





Piemērs
1.solis
α vērtības atlikšana
2.solis
Atbilstošo vērtību atzīmēšana uz ass
3.solis
Atbilstošā loka iezīmēšana
4.solis
Galapunktu noteikšana
5.solis
Atbilstošā intervāla nolasīšana


 tg x ≥ 1

Tangensa funkcijai atbilst tangensu ass, uz tās 
atliek 1 


tg x ≥ 1,
tāpēc uz ass atzīmē vērtības lielākas par 1

Iezīmē 2 lokus, kuru leņķiem atbilst tangensa vērtības iekrāsotajā ass daļā.

Loka sākumpunktam A atbilst vērtība ,
bet galapunktam B . Otrs loks atšķiras no pirmā par periodu π, tāpēc tā galapunkti papildus nav jānosaka. 


Atceries!
Punktos tangensa funkcija nav definēta, tāpēc šos punktus nevar ietvert atrisinākumā.



Piemērs
1.solis
α vērtības atlikšana
2.solis
Atbilstošo vērtību atzīmēšana uz ass
3.solis
Atbilstošā loka iezīmēšana
4.solis
Galapunktu noteikšana
5.solis
Atbilstošā intervāla nolasīšana


 ctg x ≤ 0

Kotangensa funkcijai atbilst kotangensu ass, uz tās 
atliek 0


ctg x ≤ 0,
tāpēc uz ass atzīmē vērtības mazākas par 0

Iezīmē 2 lokus, kuru leņķiem atbilst tangensa vērtības iekrāsotajā ass daļā.

Loka sākumpunktam A ,
bet galapunktam B atbilst vērtība π. Nākamais loks atšķiras no pirmā par periodu π, tāpēc tā galapunkti papildus nav jānosaka.
 
Atceries!
Punktos tangensa funkcija nav definēta, tāpēc šos punktus nevar ietvert atrisinākumā.