2. uzdevums
Dots, ka ABCD - paralelograms; caur A novilkts stars t,
kas krusto nogriezni CD punktā K un BC pagarinājumu – punktā L. Punkti X un Y ir attiecīgi nogriežņu CK
un CL viduspunkti.
Pierādīt, ka taisne XY krusto nogriezni BD
tā viduspunktā (skat. zīm.)
Atrisinājums
Par paralelogramu mēs zinām, ka tā pretējās malas ir vienādas un paralēlas. Diemžēl, vienādās un paralēlās malas BC un AD ir „atrautas” viena no otras – tās atrodas uz dažādām taisnēm, un tām nav kopīgu galapunktu.
Tālāk
Mala AD ir „atrauta” arī no citiem nogriežņiem, par kuriem mums uzdevumā ir kāda informācija – no CX, XK, CY, YL. Mēs esam tādā situācijā kā karavadonis, kura spēki ir izkliedēti.
Tālāk
Koncentrēsim savus spēkus- pārnesīsim nogriezni AD tuvāk pārējiem spēkiem, uz taisni BC. Šai nolūkā mēs varam AD ar paralēlo pārnesi pārnest par nogriezni LT uz taisnes BC. (To var izdarīt, jo BC
|| AD. Pārnese notiek pa vektoru .)
Tālāk
Redzam, ka XY ir ΔKCL viduslīnija, tātad XY || KL.
Tālāk
Pēc konstrukcijas KL || DT; tātad XY || DT.
Punkts Y ir malas BT viduspunkts trijstūrī BTD; tāpēc
XY ir šī trijstūra viduslīniju saturošā taisne, tāpēc tā krusto
ΔTBD malu BD tās viduspunktā, k.b.j.