2.2.4. Homotētija
Homotētiju nosaka divi parametri – homotētijas centrs un homotētijas koeficients. Homotētijas centrs ir punkts; homotētijas koeficients ir skaitlis, kas atšķiras no nulles.
Pieņemsim, ka plaknē fiksēts punkts O un izvēlēts no nulles atšķirīgs skaitlis
k.
Definīcija
Homotētijā ar centru O un koeficientu k patvaļīgs punkts A
attēlojas par tādu punktu A’, ka
Piezīme: vārdu salikuma „homotētija ar centru O un koeficientu
k” vietā var lietot īsāku frāzi „homotētija (O;k)”.
Piemēri
1. Ja MN ir ΔABC viduslīnija, tad homotētijā (B;2) M attēlojas par A, bet N – par C.
Savukārt homotētijā
A attēlojas par
M, bet C – par N .
|
|
2. Ja ABCD – paralelograms ar diagonāļu krustpunktu O,
tad homotētijā (O; -1) A attēlojas par C, C
– par A, B – par D, D – par B.
|
|
3. Ja ABCD – trapece ar sānu malu pagarinājumu krustpunktu
S un diagonāļu krustpunktu O, tad ΔSBC ~ ΔSAD
(līdzības pazīme ll); tāpēc šo atbilstošo malu attiecības ir vienādas, t.i.,
. Varam apzīmēt šo attiecību kopējo vērtību ar k; tad homotētijā (S;
k) punkts A attēlojas par B, bet punkts D –
par C. Līdzīgi pierāda, ka homotētijā
punkts B attēlojas par D, bet C – par A. Pirmajā
homotētijā S, bet otrajā O paliek uz vietas.
|
|
4. Atceramies, ka trijstūra mediānas krustojas vienā punktā un dalās šajā punktā attiecībā 2 : 1, skaitot no virsotnes. Tāpēc, ja ABC
– trijstūris ar mediānu krustpunktu M, bet malu AB, BC,
CA viduspunkti ir attiecīgi C1,A1,B1, tad homotētijā (M; -2) punkts A1 attēlojas par A,
punkts B1 – par
B, punkts C1
– par C.
|
|
5. Acīmredzot, homotētija ar koeficientu 1 attēlo katru punktu pašu par sevi (vai, kā vēl pieņemts teikt, atstāj uz vietas), bet homotētija (O;
-1) ir tas pats, kas pagrieziens(O; 180°) jeb centrālā simetrija.
Ja dots homotētijas centrs O un koeficients k ( k0)
, tad patvaļīga punkta A attēlu homotētijā (O; k) var konstruēt sekojoši:
a) ja A sakrīt ar O, tad A attēls ir tas pats O,
b) ja A nesakrīt ar O, tad
1) novelkam taisni OA;
2) ja k > 0, tad uz stara OA atliekam tādu punktu A’,
ka OA’ =
· OA ,
3) ja k < 0, tad tādu punktu A’ atliekam uz staram OA
pretējā stara.