2.3. Ģeometrisko pārveidojumu vispārīgās īpašības un secinājumi no tām

Ģeometriskie pārveidojumi, kurus mēs apskatām, ir funkcijas, kas attēlo punktus par punktiem. Katra ģeometriska figūra sastāv no atsevišķiem punktiem (piemēram, riņķis – no visiem tiem punktiem, kas atrodas attālumā ≤ R no viena fiksēta punkta – riņķa centra).
Mēs vispirms noskaidrosim, kādu figūru veido visi tie punkti, kurus iegūst, ja kādu no mūsu minētajiem pārveidojumiem pielieto visiem kādas figūras F punktiem (katram atsevišķi). Šo figūru F vispārīgā gadījumā apzīmēsim ar F’.

Teorēma 1. Ja visiem figūras F punktiem katram atsevišķi pielieto vienu un to pašu paralēlo pārnesi, pagriezienu, vai aksiālo simetriju, tad iegūtā figūra F’ ir vienāda ar figūru F.

Par vienādām sauc tādas figūras, kuras var savietot vienu ar otru tā, lai tās pilnīgi sakristu.

Teorēma 2. Ja visiem figūras F punktiem katram atsevišķi pielieto vienu un to pašu homotētiju, tad iegūtā figūra F’ ir līdzīga figūrai F, un līdzības koeficients vienāds ar homotētijas koeficienta moduli (absolūto vērtību).

Starp citu, no minētajām teorēmās seko: visu mūsu apskatāmo pārveidojumu rezultātā trijstūri pārveidojas par trijstūriem, riņķa līnijas – par riņķa līnijām, trapeces par trapecēm utt.

Teorēma 3. Ja kādu no mūsu apskatītajiem pārveidojumiem pielieto visiem figūras F punktiem, iegūstot figūru F’, tad katrs figūras F punkts P attēlojas par figūras F’ punktu P’ ar tādu pašu ģeometrisku jēgu, kāda ir punktam P figūrā F

Piemēram, ja homotētijas rezultātā riņķis R pārveidojas par riņķi R’, tad riņķa R centrs O šīs homotētijas rezultātā pārveidojas par riņķa R’ centru O’, utt.

Piemērs

Ja visiem figūras F punktiem katram atsevišķi pielieto vienu un to pašu paralēlo pārnesi, pagriezienu, vai aksiālo simetriju, tad iegūtā figūra F’ ir vienāda ar figūru F.

Pieņemsim, ka mums jāatrod figūra, par kuru kādā paralēlā pārnesē pārveidojas ΔABC. No teorēmas 1 mēs zinām, ka šī figūra būs ΔT, kas vienāds ar ΔABC. No teorēmas 3 mēs zinām, ka trijstūra T virsotnes būs tie punkti, par kuriem pārnesē attēlosies A, B un C. Tātad mums pietiek atrast tikai triju ΔABC virsotņu attēlus paralēlajā pārnesē; savienojot tos savā starpā, iegūstam vajadzīgo trijstūri T.

Ja kādu no mūsu apskatītajiem pārveidojumiem pielieto visiem figūras F punktiem, iegūstot figūru F’, tad katrs figūras F punkts P attēlojas par figūras F’ punktu P’ ar tādu pašu ģeometrisku jēgu, kāda ir punktam P figūrā F.

Līdzīgi katras figūras attēlu var iegūt, atrodot tās „raksturīgo punktu” attēlus. Piemēram, lai atrastu figūru, par kuru kādā pagriezienā attēlojas dotais riņķis ω, mums pietiek izvēlēties 3 punktus A, B, C uz riņķa līnijas. Pēc tam atrodam tos punktus A1, B1, C1, par kuriem apskatāmajā pagriezienā attēlojas attiecīgi A, B, C. No teorēmas 1 seko, ka riņķis ω attēlojas par kaut kādu riņķi ω1; no teorēmas 3 seko – ja A,B,C pieder ω norobežojošajai riņķa līnijai, tad punkti A1, B1, C1 pieder tai riņķa līnijai, kas norobežo riņķi ω1. Tāpēc pietiek uzzīmēt riņķa līniju, kas iet caur A1, B1 un C1, un esam ieguvuši arī meklēto riņķi ω1.

Teorēma 4. Ja doti ģeometriskā pārveidojuma parametri un punkts A, tad to punktu A’, par kuru pārveidojas A, var konstruēt ar cirkuli un lineālu.

Šī teorēma ļauj ar cirkuli un lineālu konstruēt arī jebkuras tādas figūras F attēlu, kura pati (vai kuras robeža) sastāv no galīga skaita taišņu nogriežņu un/vai riņķa līniju loku.