2.4.2. Vienādojuma logaf(x) = logag(x) atrisināšana
Logaritmiskā funkcija ir
monotona, tāpēc loga
x1 = loga x2
tikai tad, ja x1
= x2. Ja logaritmisko vienādojumu, izmantojot logaritma īpašības, iespējams pārveidot formā loga
f(x)
= loga g(x),
tad atrisinājumu iegūst, atrisinot vienādojumu f(x) = g(x). Šiem vienādojumiem jānosaka definīcijas apgabals: f(x) > 0 un g(x)
> 0.
Funkciju, kas noteiktā intervālā [a; b] ir augoša vai dilstoša, sauc par monotonu.
log
c a - log
c b = log
c
log
c ab =
b · log
c a
log
c a
+ log
c b = log
c ab
logaf(x)
= logag(x)
Risinot sistēmu, vienu (jebkuru) no divām nevienādībām (f(x) >
0 un g(x) > 0) drīkst atmest, jo katra no tām izriet no sistēmas pirmā vienādojuma un otras nevienādības.
Piemērs
log
5 2
x = log
5 (
x2 - 3)
Vienādojuma atrisinājums ir
x = 3.
Šāda veida vienādojumu var risināt arī citādi: atrisina vienādojumu f(x)
= g(x) un tad pārbauda, kuras no iegūtajām saknēm ietilpst definīcijas apgabalā – tās tad arī ir logaritmiskā vienādojuma atrisinājumi.
Piemērs
log5 2x = log5 (x2 - 3)
2x = x2
- 3
x2 - 2x
- 3 = 0
x1 = 3
x2
= -1
Pārbauda saknes:
Ja x = 3, tad 2 · 3 > 0; 6 > 0 - patiesa nevienādība;
ja x = -1, tad 2 · (-1) > 0; -2 > 0 - aplama nevienādība.
Vienādojuma atrisinājums ir x = 3.