6.5. Vienādojumu sistēmas

Skaitļu pāris (a; b) ir vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem atrisinājums tad un tikai tad, ja, to ievietojot visos sistēmas vienādojumos, iegūst pareizas skaitliskas vienādības

Piemēram, skaitļu pāris (4; 1) ir vienādojumu sistēmas atrisinājums, jo, ievietojot x = 4 un y = 1 abos vienādojumos, iegūst pareizas skaitliskas vienādības:

Atrisināt vienādojumu sistēmu nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pamatot, ka citu, bez jau atrastajiem, nav, vai arī pierādīt, ka sistēmai atrisinājumu vispār nav.

Pamatskolas matemātikas kursā tika aplūkots ievietošanas paņēmiens, saskaitīšanas paņēmiens un grafiskais paņēmiens vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem atrisināšanai. Šos paņēmienus, kombinējot ar citām metodēm un īpašībām, var izmantot arī risinot vienādojumu sistēmas, kas satur logaritmiskos vienādojumus, eksponentvienādojumus un trigonometriskos vienādojumus.

Ievietošanas paņēmiena būtība ir šāda:

• no viena vienādojuma izsaka (izslēdz) vienu mainīgo;
• iegūto izteiksmi ievieto otrā vienādojumā izsacītā (izslēgtā) mainīgā vietā, iegūstot vienādojumu ar vienu nezināmo;
• atrisina iegūto vienādojumu;
• aprēķina otra mainīgā vērtību.

Piemērs

Atrisināt sistēmu:

Soļi	Risinājums
Izsaka no pirmā vienādojuma mainīgo y
Ievieto otrā vienādojumā y vietā izteikto izteiksmi
Atrisina otro vienādojumu	3log2 x - 2(3 - log2 x)= 4 3log2 x - 6 + 2log2 x = 4 5log2 x = 10 log2 x = 2 x = 4
Aprēķina otru mainīgo y, ievietojot izteiktajā izteiksmē aprēķināto x vērtību	y = 3 - log2 x y = 3 - log2 4 = 3 - 2 = 1
Pieraksta atbildi	Atbilde: (4; 1)

Saskaitīšanas paņēmiena būtība ir šāda:

• ja nepieciešams, vienu vai abus vienādojumus pareizina ar kādu skaitli;
• vienādojumus saskaita ar mērķi iegūt vienādojumu ar vienu mainīgo vai vienkāršāku vienādojumu (piemēram, vienādojumu, kurā var pielietot kādu no formulām);
• atrisina vienādojumu ar vienu mainīgo;
• aprēķina otra mainīgā vērtību.

Piemērs

Atrisināt sistēmu:

Soļi	Risinājums
Pirmo vienādojumu, izmantojot eksponentfunkcijas īpašības, pārveido par algebrisku
Pirmo vienādojumu pareizina ar 3, bet otro ar 2. Tādējādi koeficienti pie y būs pretēji skaitļi 6 un -6, kurus saskaitot iegūst 0
Saskaita abus vienādojumus un atrisina iegūto vienādojumu
Aprēķina otru mainīgo, ievietojot atrasto x vērtību vienā no vienādojumiem un aprēķina y vērtību
Pieraksta atbildi	Atbilde:

Grafiskā paņēmiena būtība ir šāda:

• vienā koordinātu sistēmā uzzīmē katram vienādojumam atbilstošo grafiku (pirms tam, ja nepieciešams, izdarot nepieciešamos pārveidojumus);
• nolasa grafiku kopējo punktu koordinātas. Ja grafikiem kopēju punktu nav, vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu. Ja grafiki sakrīt – vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu.

Piemērs

Atrisināt sistēmu:

Soļi	Risinājums
Pārveido pirmo sistēmas vienādojumu, izsakot y
Vienā koordinātu sistēmā konstruē abu vienādojumu atbilstošos grafikus
Nolasa krustpunktu koordinātas.	Abi grafiki krustojas divos punktos – vienādojumu sistēmai ir divi atrisinājumi: (1; 0) un (4; 2)

Lai vienkāršotu vienādojumu sistēmu, var izmantot arī substitūcijas metodi.

Izvēloties jaunu mainīgo (argumentu), cenšas risināmo vienādojumu aizstāt ar tādu vienādojumu, kuram ir zināma risināšanas metode.

Piemērs

Atrisināt sistēmu:

Soļi	Risinājums
Izmanto substitūciju un izdara aizvietošanu
Pirmā vienādojuma kreiso pusi sadala reizinātājos un a - b vietā ievieto 25
Izmanto saskaitīšanas paņēmienu	2a = 54 a = 27 27 + b = 29 b = 29 - 27 = 2
Atgriežas pie apzīmētajām izteiksmēm
Pieraksta atbildi	Atbilde: (3;1)